Các Dạng Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Lớp 11

     
Các dạng toán phương trình lượng giác, phương thức giải và bài xích tập tự cơ bản đến nâng cao - toán lớp 11

Sau khi làm cho quen với các hàm lượng giác thì các dạng bài xích tập về phương trình lượng giác đó là nội dung tiếp theo sau mà những em đã học trong chương trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Các dạng phương trình lượng giác cơ bản lớp 11


Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương thức giải ra sao? họ cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết này, đồng thời vận dụng các phương thức giải này để làm các bài tập trường đoản cú cơ bản đến cải thiện về phương trình lượng giác.

I. Kim chỉ nan về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa sinα = a, khi ấy phương trình (1) có những nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều kiện 

*
 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Lúc đó những nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 cung thỏa cosα = a, lúc đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều khiếu nại 0 ≤ α ≤ π với cosα = a thì ta viết α = arccosa. Lúc đó những nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có những nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện

*

- Nếu α thỏa mãn điều khiếu nại

*

II. Những dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức nghiệm tương xứng với mỗi phương trình.

* lấy ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* giải thuật bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* lấy ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một số trong những phương trình lượng giác gửi được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã mang lại về phương trình cơ bản như Dạng 1.

* ví dụ như 1: Giải những phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ cùng với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* lưu ý: Bài toán trên vận dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* lấy ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* giữ ý: bài bác toán vận dụng công thức đổi khác tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy ví dụ như 3: Giải những phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* lưu lại ý: Bài toán trên có vận dụng công thức chuyển đổi tổng thành tựu và phương pháp nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm con số giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* lấy ví dụ như 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai bao gồm một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta bao gồm phương trình at2 + bt + c = 0.

* lưu lại ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải tất cả điều kiện: -1≤t≤1

* ví dụ như 1: Giải những phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ với t = 1: sinx = 1 

*

+ với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

Xem thêm: Bài 6 Sgk Toán 8 Tập 1 Trang 5, 6 Sgk Toán 8 Tập 1, Bài 6 Trang 6 Sgk Toán 8 Tập 1

+ t = 3/2 >1 phải loại

*
*
 
*

* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương thức giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 chưa phải là nghiệm của phương trình vày a≠0,

 Chia 2 vế mang lại cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 cùng với tanx)

 - nếu phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta gắng d = d.sin2x + d.cos2x, với rút gọn mang đến dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ cách 1: Chia hai vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ cách 2: Sử dụng bí quyết sinx cùng cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 so với t.

* giữ ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm lúc c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 khi đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* giữ ý: bài toán vận dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx cùng cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Giải Bài 27 Phản Xạ Toàn Phần, Giải Vật Lí 11 Bài 27: Phản Xạ Toàn Phần

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, lúc đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- giữ ý: 

*
 nên đk của t là: 

- cho nên vì vậy sau khi kiếm được nghiệm của PT (*) cần kiểm tra (đối chiếu) lại đk của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng tuy nhiên cũng rất có thể giải bằng phương pháp tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. Bài tập về những dạng toán Phương trình lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Với phần lớn giá trị nào của x thì giá bán trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* bài bác 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° giải thuật bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT có nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình 

° giải thuật bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến trên đây ta cần đối chiếu với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT có họ nghiệm là 

*

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT bao gồm tập nghiệm 

*

* bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° giải thuật bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, lúc đó PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0