DÃY SỐ BỊ CHẶN LÀ GÌ

     

Ở bài viết trước các em đã được tìm hiểu các chứng minh bằng quy nạp toán học, cách chứng minh này mang tính tổng quát cho n số trong phép toán. Bài viết này các em sẽ được giới thiệu về dãy số.

Bạn đang xem: Dãy số bị chặn là gì


Vậy dãy số là gì? Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn? Dãy số hữu hạn và dãy số vô hạn? chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài viết này.

I. Dãy số là gì, dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn

1. Định nghĩa dãy số

Dãy số là gì? Dãy số vô hạn

- Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

 

*

- Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u1, u2, u3, ... , un, ...

trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đầu của dãy số (un).

* Ví dụ 1: Dãy các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, 7,... có số hạng đầu u1 = 1 số hạng tổng quát un = 2n - 1.

* Ví dụ 2: Dãy các số chính phương: 1, 4, 9, 16,... có số hạng đầu u1 = 1 số hạng tổng quát un = n2.

• Dãy số hữu hạn?

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, ..., m}, với m ∈ N* được gọi là một dãy số hữu hạn.

- Dạng khai triển của nó là: u1, u2, u3, ... , um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.

* Ví dụ 1: Dãy: -5, - 2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có u1 = -5, u7 = 13.

* Ví dụ 2: Dãy: 

*
 là dãy số hữu hạn có 
*

II. Cách cho một dãy số

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

• Dãy un = f(n)

 trong đó f là một hàm số xác định trên N*

- Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được un.

* Ví dụ: Cho dãy: 

*

Nếu viết dãy sô này dưới dạng khai triển ta được: 

 

*

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

- Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được un với n tuỳ ý.

* Ví dụ: Số π = 3,141 592 653 589

Nếu lập dãy số (un) với un là giá trị gần đúng của số π với sai số tuyệt đối là 10-n thì:

 u1 = 3,1; u2 = 3,14; u3 = 3,141; ...

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

- Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).

- Với n ≥ 2, cho một công thức tính un nếu biết un-1 (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)

Chẳng hạn, các công thức có thể là:

*

 hoặc

*

* Ví dụ: Dãy Phi-bô-na-xi là dãy số (un) được xác định như sau:

 

*

III. Biểu diễn hình học của dãy số

- Vì dãy số là một hàm số trên N* nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó, trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ (n; un)

* Ví dụ: Dãy số (un) với 

*
 có biểu diễn hình học như sau:

*

IV. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn

1. Thế nào là dãy số tăng?

- Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ N*.

* Ví dụ: Dãy số (un) với un = 2n - 1 là dãy số tăng

Vì: un+1 - un = <2(n + 1) - 1> - <2n - 1> = 2.

Xem thêm: Bài 7 Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai, Please Wait

2. Thế nào là dãy số giảm?

- Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu un+1 n với mọi n ∈ N*.

* Ví dụ: Dãy số (un) với 

*
 là dãy số giảm.

Vì: 

*
 rồi so sánh với 1.

- Nếu

*
với mọi n ∈ N* thì dãy số tăng.

- Nếu

*
 bị chặn vì: 
*
 
*

*
 
*

*

* Câu hỏi 2 trang 86 SGK Toán 11 Giải tích: Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa.

> Lời giải:

- Hàm số cho bằng bảng, ví dụ:

x01234
y246810

- Hàm số cho bằng công thức, ví dụ: 

*

* Câu hỏi 3 trang 86 SGK Toán 11 Giải tích: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:

a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;

b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.

> Lời giải:

a) Năm số hạng đầu: 

*

Số hạng tổng quát của dãy số: 

*

b) Năm số hạng đầu: 1; 4; 7; 10; 13

- Số hạng tổng quát của dãy số: 3n + 1, (n ∈ N)

* Câu hỏi 4 trang 87 SGK Toán 11 Giải tích: Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.

> Lời giải:

- Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.

* Câu hỏi 5 trang 89 SGK Toán 11 Giải tích: Cho các dãy số (un) và (vn) với un = 1 + 1/n; vn = 5n – 1.

a) Tính un+1, vn+1.

b) Chứng minh un+1 n và vn+1 > vn, với mọi n ∈ N*.

> Lời giải:

a) Ta có:

 un+1 = 1 + 1/(n+1);

 vn+1 = 5(n + 1) - 1 = 5n + 4.

b) Ta có:

 

*
 
*
 và 
*
 với mọi n ∈ N*.

> Lời giải:

- Ta có:

*

 

*

(Do n2 + 1 > 0 với mọi n và -(n - 1)2 ≤ 0 với mọi n)

*

- Lại có:

*
 
*

(Vì (n - 1)2 ≥ 0 với mọi n)

*

Trên đây ktktdl.edu.vn đã giới thiệu với các em về Dãy số, Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn?.

Xem thêm: Giải Địa Lí 7 Bài 28 Thực Hành Trang 88 Sgk Địa Lí 7, Soạn Địa 7 Bài 28 Ngắn Nhất: Thực Hành

 Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công.