Giải toán 12 bài nguyên hàm

     

Giải bài bác tập Đại số lớp 12 bài xích 1 Nguyên hàm chi tiết nhất thuộc: Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân cùng ứng dụng

I. Nắm tắt lý thuyết nguyên hàm

1. Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Bạn đang xem: Giải toán 12 bài nguyên hàm

Định lí:

1) nếu như F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 trong nguyên hàm của f(x) trên K.

2) ví như F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì số đông nguyên hàm của f(x) bên trên K đều phải có dạng F(x) + C, cùng với C là 1 trong những hằng số.

Do kia F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) bên trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C

2. đặc thù của nguyên hàm

Tính chất 1: (∫f(x)dx)" = f(x) cùng ∫f"(x)dx = f(x) + C

Tính hóa học 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số không giống 0.

Tính chất 3: ∫dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

3. Sự trường tồn của nguyên hàm

Định lí: hầu hết hàm số f(x) thường xuyên trên K đều phải có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một vài hàm số sơ cấp

*
 
*

5. Phương thức đổi trở nên số

Định lí 1: ví như ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm tiếp tục thì

∫f(u(x))u"(x)dx = F(u(x)) + C

Hệ quả: trường hợp u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C

6. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 2: trường hợp hai hàm số u = u(x) cùng y = y(x) tất cả đạo hàm liên tiếp trên K thì

∫u(x)v"(x)dx = u(x)v(x) - ∫u"(x)v(x)dx

Hay ∫udv = uv - ∫vdu

II. Lý giải trả lời thắc mắc bài tập nguyên hàm toán 12 bài 1

Trả lời thắc mắc Toán 12 Giải tích bài 1 trang 93:

Tìm hàm số F(x) thế nào cho F’(x) = f(x) nếu:

a) f(x) = 3x2 với x ∈ (-∞; +∞);

b) f(x) = 1/(cos⁡x)2 cùng với x ∈ ((-π)/2; π/2).

Lời giải:

F(x) = x3 vì (x3)" = 3x2

F(x) = tanx vì chưng (tanx)" = 1/(cos⁡x)2 .

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích bài xích 1 trang 93:

Hãy tìm kiếm thêm phần đông nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong lấy ví dụ 1.

Lời giải:

(x) = x2 + 2 vày (F(x))"=( x2 + 2)’ = 2x + 0 = 2x. Tổng quát F(x) = x2 + c với c là số thực.

F(x) = lnx + 100, bởi (F(x))’ = 1/x , x ∈ (0,+∞). Tổng thể F(x)= lnx + c, x ∈ (0,+∞) với với c là số thực.

Trả lời thắc mắc Toán 12 Giải tích bài 1 trang 93:

Hãy minh chứng Định lý 1.

Lời giải:

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K phải (F(x))" = f(x). Vì chưng C là hằng số đề nghị (C)’ = 0.

Ta có:

(G(x))" = (F(x) + C)" = (F(x))" + (C)" = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một trong nguyên hàm của f(x).

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích bài 1 trang 95:

Hãy chứng minh Tính chất 3.

Xem thêm: Cảm Nhận Về Bài Thơ Về Tiểu Đội Xe Không Kính, Cảm Nhận Bài Thơ Về Tiểu Đội Xe Không Kính

Lời giải:

Ta có <∫f(x) ± ∫g(x)>"= <∫f(x) >"± <∫g(x) >" = f(x)±g(x).

Vậy ∫f(x) ± ∫g(x) = ∫.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích bài 1 trang 96:

Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại số và Giải tích 11 nhằm điền vào những hàm số thích hợp vào cột bên phải.

Lời giải:

f’(x)f(x) + C
0C
αxα -1xα + C
1/x (x ≠ 0)ln⁡(x) + C trường hợp x > 0, ln⁡(-x) + C ví như x xex + C
axlna (a > 1, a ≠ 0)ax + C
Cosxsinx + C
- sinxcosx + C
1/(cosx)2tanx + C
(-1)/(sinx)2cotx + C

Trả lời thắc mắc Toán 12 Giải tích bài 1 trang 98:

a) đến ∫(x - 1)10 dx. Đặt u = x – 1, hãy viết (x - 1)10dx theo u cùng du.

b)∫ . Đặt x = et, hãy viết  theo t cùng dt.

a) Ta gồm (x - 1)10dx = u10 du (do du = d(x - 1) = dx.

b) Ta bao gồm dx = d(et) = et dt, do đó 

*

Trả lời thắc mắc Toán 12 Giải tích bài 1 trang 99:

Ta tất cả (xcosx)’ = cosx – xsinx giỏi - xsinx = (xcosx)’ – cosx.

Hãy tính ∫ (xcosx)’ dx cùng ∫ cosxdx. Từ đó tính ∫ xsinxdx.

Lời giải:

Ta bao gồm ∫ (xcosx)’dx = (xcosx) cùng ∫ cosxdx = sinx. Từ bỏ đó

∫ xsinxdx = - ∫ <(xcosx)’ – cosx>dx = -∫ (xcosx)’dx + ∫ cosxdx = - xcosx + sinx + C.

Trả lời thắc mắc Toán 12 Giải tích bài 1 trang 100:

Cho P(x) là đa thức của x. Từ ví dụ như 9, hãy lập bảng theo mẫu tiếp sau đây rồi điền u cùng dv phù hợp vào chỗ trống theo cách thức nguyên phân hàm từng phần.

∫ P(x)ex dx∫ P(x)cosxdx∫ P(x)lnxdx
P(x)
exdx

Lời giải:

∫ P(x)ex dx∫ P(x)cosxdx∫ P(x)lnxdx
P(x)P(x)P(x)lnx
exdxcosxdxdx

III. Gợi ý giải bài xích tập nguyên hàm toán 12 bài xích 1

Bài 1 trang 100 SGK Giải tích 12:

Trong những cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

*
Lời giải:

a) Ta có: (-e-x)" = -e-x.(-x)" = e-x

⇒ -e-x là một nguyên hàm của hàm số e-x

*
Lại có : ( e-x )’ = e-x. (-x)’ = - e-x

Suy ra, e-x là một nguyên hàm của hàm số -e-x

Vậy 

*

b) (sin2x)" = 2.sinx.(sinx)" = 2.sinx.cosx = sin2x

⇒ sin2x là một trong nguyên hàm của hàm số .

*

*
*
 là một nguyên hàm của hàm số 
*

*
Kiến thức áp dụng

+ F(x) được gọi là một trong nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu:

f’(x) = F(x)

+ nếu như F(x) là một trong những nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì toàn bộ các hàm số gồm dạng F(x) + C (C là một trong hằng số bất kì) số đông là nguyên hàm của hàm số f(x).

Xem thêm: Làm Văn Chuyện Chức Phán Sự Đền Tản Viên Của Nguyên Dữ, Phân Tích Chuyện Chức Phán Sự Đền Tản Viên

Kí hiệu: 

*

Bài 2 trang 100 SGK Giải tích 12:

Tìm phát âm nguyên hàm của những hàm số sau:

*

Lời giải:

*

*

*

*

*

*

Kiến thức áp dụng

+ những công thức nguyên hàm :

*

Bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12:

Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

*
Lời giải:

a) Đặt u = 1 - x ⇒ u’(x) = -1⇒ du = -dx xuất xắc dx = - du

*
Thay u = 1 – x vào công dụng ta được :

*
b) Đặt u = 1 + x2 ⇒ u" = 2x ⇒ du = 2x.dx 
*

*
Thay lại u = 1+ x2 vào công dụng ta được:

*
c) Đặt u = cosx ⇒ u" = -sinx ⇒ du = -sinx.dx

*
Thay lại u = cos x vào tác dụng ta được:

*
d) Ta có:

*
Kiến thức áp dụng

+ phương pháp đổi đổi mới số:

Nếu hàm u = u(x) gồm đạo hàm liên tục

⇒ du = u"(x)dx

Khi kia ta có:

*
+ một số trong những công thức nguyên hàm:

*

Giải bài bác tập Đại số lớp 12 bài bác 1 Nguyên hàm cụ thể nhất. Trả lời soan Đại bài Nguyên hàm chi tiết nhất. Nội dung bài viết được biên soạn trên ktktdl.edu.vn

Bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12:

Sử dụng cách thức tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

*
Lời giải:

*
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

*

b) Đặt

*
Theo cách làm nguyên hàm từng phần ta có:

*
Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có:

*

*

*

Kiến thức áp dụng

+ phương thức nguyên hàm từng phần:

Nếu nhì hàm số u = u(x) cùng v = v(x) bao gồm đạo hàm liên tiếp trên K thì:

∫u(x).v"(x)dx = u(x).v(x) - ∫u"(x).v(x)dx

hay viết ngắn gọn:

∫udv = uv - ∫vdu

+ một số trong những công thức nguyên hàm:

*

Nguyên hàm toán lớp 12 bài bác 1 giải bài tập do đội hình giáo viên tốt toán biên soạn, bám quá sát chương trình SGK new toán học lớp 12. Được ktktdl.edu.vn biên tập và đăng trong siêng mục giải toán 12 giúp chúng ta học sinh học giỏi môn toán đại 12. Nếu thấy hay hãy comment và chia sẻ để đa số chúng ta khác thuộc học tập.